常态分配

　　许多随机过程均可约略视为常态分配，亦即，其曲线为钟形曲线。虽然也称作高斯曲线，但此曲线却是de Moivre首先于1733年发展出来，而后高斯又于1790年代发展成功的。　　若自羣体中抽取许多随机试样并绘制次数分配图，将可获得与下图所示曲线近似的常态分配曲线。　　N为试样个数，以平均值μ及标准差σ的常态分配可写成如下式 　　 　　常态分配有两个独立参数，平均值μ，和标准差σ。下图代表平均值为5和标准差分别为1，2和3的图形，图上平均值是以纵坐标为极大处的横坐标（x值）来表示。这是最大的可能值。标准差是表示数据自平均值变动多广的一种度量。大多数实用统计分析均系基于常态分配。　　核事象系遵从卜松(Poisson)机率分配，其方程式如下式　　P(N)＝(μNe-μ)／N! 　　卜松分配仅有一参数，即平均值μ，它与常态分配所定义者相似。为实用计，平均值超过20时，平均值为μ的卜松分配即可约略以平均值为μ和标准差为 的常态分配来代替。因此若事象次数N大于20时，常态分配所有特性，均可应用于放射现象。　　如下图所示： 　　 　　标准差参数的计算示于下： 　　 　　决定使用N或N-1须视系采用全部羣体或仅用羣体中某试样来计算而定。 　　虽然上二式未能表示，统计文献均可辨别采用全部羣体或羣体中仅一试样两者之区分 。通常μ和σ是用作由全部羣体计算而得的参数，而 及S则为由试样体计算而得的参数。S为试样标准差。　　常态分配是统计学上最重要且应用最广泛的连续机率分配函数。亚伯拉罕(Abraham de Moivre)于1733年发现此分配；19世纪初高斯(C.F. Gauss)将此分配介绍到物理量测之误差理论，而后发现自然界很多物理现象均为常态分配，为纪念高斯，常态分配又称为高斯分配(Gaussian distribution)。此分配的机率密度函数(probability density function)为： 　　 　　式中，x为连续随机变数(continuous random variable)；μ为平均值；σ为标准差(standard deviation)；π＝3.14159…和e＝2.71828…。此分配曲线如图所示，其特性如下：　　1.曲线呈钟形(bell-shaped)，在x＝μ时有一最高点。　　2.曲线f(x)以x＝μ为其对称轴。　　3.曲线在μ－σ＜x＜μ+σ为向下凹，其他范围曲线向上凹，亦即在x＝μ±σ为反曲点(points of inflectrion)。　　4.x轴为曲线之水平渐近线，曲线和x轴所围成之面积为1。常态分配经z转换（令z＝(x－μ)/σ）可化为标准常态分配（亦即常态分配取μ＝0 和σ＝1），其机率密度函数为： 　　 　　在统计表均附有累计(cumulative)标准常态分配表： 　　 　　依此表，可计算自然界很多物理现象为常态分配之机率，作为统计推估和检定之依据；不为常态分配之物理现象，依中央极限定理(central limit theorem)，只要样本数n→∞，取n个样本平均值( )为随机变数，其分配亦为常态分配。--作者:王安培　　若一连续随机变项的机率分配成一条左右对称的钟型分配，则此一随机变项的机率分配即为常态分配，又称为高斯(Gauss)分配，常以符号N(μ,σ2)表示。常态分配曲线是由二项分配(binomial distribution)的原理而来，常态分配曲线最早是由法国数学家戴莫瓦佛(A. De Moivre)推算出来的，其公式为： 　　 式中y为横座标上x之常态分配之高度，N为总人数，σ为标准差，π为圆周率3.1416，e为自然对数之底数2.7183，x则为横座标上之一数值。常态分配的连续随机变项具有下列特性：(1)为一对称分配，平均数、中数及众数相等；   (2)所有各级动差均存在；   (3)常态分配曲线左右两尾与横轴渐渐靠近，但不与横轴相交；   (4)具有两个反曲点(point of inflection)，分别在μ-σ及μ+σ的地方。　　在常态分配下，若曲线下之总面积为1，则：μ±1σ之间的区域占总面积的.6826。μ±2σ之间的区域占总面积的.9544。μ±3σ之间的区域占总面积的.9974。也就是说，若一连续随机变项的机率分配为常态分配，则会有百分之六十八点二六的观察值分数会落在平均数加减一个标准差之间，百分之九十五点四四的观察值分数会落在平均数加减二个标准差之间，百分之九十九点七四的观察值分数会落在平均数加减三个标准差之间。　　常态分配是统计学中最重要也最常用的机率分配，其所以重要的原因包括：　　1.许多连续随机变项的机率分配常为常态分配，例如人的体重、学生的智商等均是。　　2.常态分配常可用来做为间断随机变项机率分配的近似式，如一个机率分配为二项分配的随机变项，当n趋近无穷大，且p及q为二分之一时，则此二项分配的随机变项亦会趋近于常态分配。　　3.在统计学中，根据中央极限定理(central limit theorem)，对一平均数为μ，变异数为σ2的随机变项，不管其母群体的机率分配为何，当样本数够大时，吾人均可以常态分配来逼近原来的机率分配。据此，在推论统计时，就算不知母群体真正的机率分配为何，也可以用参数统计(parametric statistics)进行统计推论。　　4.多个互相独立的常态随机变项，其线性组合(linear combination)依然会是一个常态分配，此性质又称为常态分配之加性法则。　　在教育研究中，为了了解某一观察值在团体中的相对地位，常须将原始分数转换为标准z分数。因此若将一常态分配变项的所有原始分数转换为标准z分数，则转换后的z分数所构成的常态分配称为标准化常态分配，此标准化常态分配之平均数等于零，标准差等于一。而依据标准化常态分配，则许多已建立常模或经过标准化程序的教育及心理测验，均可利用Y=az+b的公式进行线性转换，其中a为新分数的标准差，b为平均数，例如比西智力量表(Binet-Simon Scale)的平均数为一百，标准差为十五；又如T分数之平均数为五十，标准差等于十。--作者:王保进

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